📏 実解析・測度論 完全ガイド
📅 近日公開予定（2026年9月）
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📑 公開予定の内容
第I部 実解析の基礎
1. 実数の連続性／上限・下限 2. 数列・関数列の収束（点収束／一様収束） 3. 一様連続／コンパクト集合上の連続 4. 微分の厳密化／連続だが微分不可能な関数
第II部 ルベーグ測度・積分
5. ジョルダン測度の限界 6. ルベーグ外測度／可測集合 7. 可測関数 8. ルベーグ積分の構成 9. リーマンとの比較
第III部 収束定理
10. 単調収束定理（MCT） 11. ファトゥの補題 12. 優収束定理（DCT）
第IV部 関数空間
13. $L^p$空間／ヘルダー・ミンコフスキー不等式 14. 完備性（リース・フィッシャー定理）
📝 練習問題100問＋解答
🎯 リーマン vs ルベーグ
| 項目 | リーマン | ルベーグ |
|---|
| 分割の方向 | $x$軸を分割 | $y$軸を分割 |
| 積分可能関数 | 不連続点が「ほとんど」少ない | 可測ならOK |
| $\chi_\mathbb{Q}$ on $[0,1]$ | 不可能 | $=0$（$\mathbb Q$の測度ゼロ） |
| 収束との相性 | 悪い（一様収束必要） | 良い（DCT, MCT） |
例題プレビュー $f_n(x)=n\chi_{[0,1/n]}$ について$\int f_n=1$ だが各点で$f_n\to 0$。
DCTが使えない（優関数なし）。MCTも使えない（単調でない）。極限と積分は交換不可：$\lim\int=1\neq 0=\int\lim$。
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