3. 微分
微分係数 $f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$（接線の傾き）
微分公式まとめ
| 関数 | 導関数 |
|---|
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x=1/\cos^2 x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\log x$ | $1/x$ |
| $\arcsin x$ | $1/\sqrt{1-x^2}$ |
| $\arctan x$ | $1/(1+x^2)$ |
微分演算法則
- $(fg)'=f'g+fg'$（積の微分）
- $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$（商の微分）
- $(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$（合成関数）
- $(f^{-1})'(y)=1/f'(x)$（逆関数）
4. 平均値の定理
ロルの定理 $f$が$[a,b]$で連続、$(a,b)$で微分可能、$f(a)=f(b)$ ならば$f'(c)=0$となる$c\in(a,b)$が存在。
平均値の定理 同条件で$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ となる$c\in(a,b)$が存在。
コーシーの平均値定理 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$。
ロピタルの定理
$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ 型のとき
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad(\text{右辺が存在すれば})$$
5. テイラー展開
テイラーの定理 $f$が$[a,b]$で$n$回微分可能なら
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)$$
剰余項 $R_n=\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$（ラグランジュ形）。
主要関数のマクローリン展開（暗記必須！）
| 関数 | 展開 | 収束半径 |
|---|
| $e^x$ | $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$ | $\infty$ |
| $\sin x$ | $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ | $\infty$ |
| $\cos x$ | $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$ | $\infty$ |
| $\log(1+x)$ | $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ | $1$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $1+x+x^2+x^3+\cdots$ | $1$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $\sum\binom{\alpha}{k}x^k$（一般二項） | $1$ |
6. 不定積分
基本公式
| 関数 | 不定積分 |
|---|
| $x^n\,(n\neq-1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $1/x$ | $\log|x|+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x+C$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x+C$ |
3つの重要技法
① 置換積分 $\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$（$u=g(x)$）
② 部分積分 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$（覚え方：「微分されてラクになる方を$u$に」）
③ 部分分数分解 有理関数の積分の常套手段
7. 定積分
リーマン積分 区間を分割して長方形の和の極限。$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$。
微積分学の基本定理 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ なら $F'(x)=f(x)$。
よって $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$（$F$は$f$の原始関数）。
定積分の応用
| 用途 | 公式 |
|---|
| 面積 | $\int_a^b f(x)\,dx$ |
| 回転体の体積（x軸） | $\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ |
| 曲線の長さ | $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ |
| パップス・ギュルダン | $V=2\pi\bar y\cdot S$ |
8. 広義積分
広義積分 区間が無限or被積分関数が発散する積分。極限で定義：
$$\int_1^\infty\frac{1}{x^p}dx=\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{x^p}dx$$
収束判定（重要！）
| 積分 | 収束条件 |
|---|
| $\int_1^\infty\dfrac{1}{x^p}dx$ | $p>1$ で収束 |
| $\int_0^1\dfrac{1}{x^p}dx$ | $p<1$ で収束 |
| $\int_0^\infty e^{-x}dx$ | 収束（$=1$） |
| $\int_0^\infty\dfrac{\sin x}{x}dx$ | 収束（$=\pi/2$、ディリクレ積分） |
ガンマ関数 $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx$（$s>0$で収束）
性質：$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$, $\Gamma(n+1)=n!$, $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$
9. 級数
級数の収束 部分和$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ が収束 ⇔ $\sum a_k$ 収束。
収束判定法
| 判定法 | 内容 |
|---|
| 比較判定 | $0\le a_n\le b_n$ で $\sum b_n$ 収束 ⇒ $\sum a_n$ 収束 |
| ダランベール | $\lim|a_{n+1}/a_n|=r<1$ なら絶対収束 |
| コーシー | $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=r<1$ なら絶対収束 |
| 積分判定 | $f$単調減少なら$\sum f(n)$と$\int f(x)dx$は同時収束 |
| ライプニッツ | 交代級数で$|a_n|$単調減少→0 なら収束 |
覚えるべき代表級数
| 級数 | 収束/値 |
|---|
| $\sum 1/n^p$ | $p>1$で収束（リーマンゼータ） |
| $\sum 1/n$（調和級数） | 発散 |
| $\sum 1/n^2$ | $\pi^2/6$ |
| $\sum (-1)^{n-1}/n$ | $\log 2$ |
| $\sum (-1)^{n-1}/(2n-1)$ | $\pi/4$（ライプニッツ級数） |
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📝 練習問題100問＋解答
A. 極限（問1〜15）
1易 $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x}$
解答
$=3\lim\dfrac{\sin 3x}{3x}=3$
2易 $\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$
解答
$=1/2$
3易 $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$
解答
$=e^2$
4中 $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$
解答
テイラー展開 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$ より$=1/2$
5中 $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$
解答
$\tan x-\sin x=\sin x(1/\cos x-1)\sim x\cdot x^2/2=x^3/2$ → $1/2$
6中 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}/n$
解答
スターリング近似 $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ → $1/e$
7中 $\lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)-x}{x^2}$
解答
$\log(1+x)=x-x^2/2+\cdots$ → $-1/2$
8中 $\lim_{x\to\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)$
解答
有理化 → $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 1/2$
9中 $\lim_{x\to0^+}x\log x$
解答
$0\cdot(-\infty)$型。$=\lim\dfrac{\log x}{1/x}$ ロピタル→$\lim\dfrac{1/x}{-1/x^2}=\lim(-x)=0$
10中 $\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$
解答
対数取って $\lim\dfrac{\log\cos x}{x^2}=\lim\dfrac{-x^2/2}{x^2}=-1/2$ → $e^{-1/2}$
11易 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n}{n!}$
解答
$=0$（階乗のほうが早く発散）
12中 $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}$
解答
テイラー展開で$=1/3$
13中 $\lim_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}$
解答
$=n$（$x^n$の$x=1$での微分係数）
14難 $\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$
解答
$=-e/2$。$\log(1+x)/x=1-x/2+x^2/3-\cdots$ から$(1+x)^{1/x}=e\cdot e^{-x/2+\cdots}$。
15中 はさみうちで$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}$ を求めよ。
解答
$|\sin n|\le1$より$\le 1/n\to 0$。よって$0$。
B. 微分（問16〜35）
16易 $f(x)=x^3-3x^2+2x$ の$f'(x)$。
解答
$3x^2-6x+2$
17易 $f(x)=e^{2x}\sin x$ の$f'(x)$。
解答
$2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x=e^{2x}(2\sin x+\cos x)$
18易 $f(x)=\log(\cos x)$の$f'(x)$。
解答
$-\tan x$
19中 $f(x)=x^x$ の$f'(x)$（$x>0$）。
解答
対数微分法。$\log f=x\log x$, $f'/f=\log x+1$, $f'=x^x(\log x+1)$
20中 $f(x)=\arctan(x^2)$ の$f'(x)$。
解答
$\dfrac{2x}{1+x^4}$
21中 $f(x)=\arcsin\sqrt x$ の$f'(x)$。
解答
$\dfrac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$
22中 $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ の$f^{(n)}(0)$は？
解答
$n$奇数:0, $n=2k$: $(-1)^k(2k)!$
23中 ライプニッツの公式で$(x^2 e^x)^{(n)}$。
解答
$=e^x(x^2+2nx+n(n-1))$
24中 $f(x)=x e^{-x}$の極値を求めよ。
解答
$f'=(1-x)e^{-x}=0\Rightarrow x=1$で極大値$1/e$。
25中 $f(x)=x^3-3x$の増減・凸凹を調べよ。
解答
$f'=3x^2-3$, $x=\pm1$で極値。$f''=6x$, $x=0$で変曲点。
26中 ロルの定理を用いて、$x^5+x-1=0$の実数解はちょうど1つ示せ。
解答
$f$は連続増加（$f'=5x^4+1>0$）かつ$f(0)<0
27中 ロピタル：$\lim_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$
解答
3回適用で$1/6$。テイラーでも同じ。
28中 $f(x)=\sin x$ の$x=0$でのテイラー展開を5次まで。
解答
$x-x^3/6+x^5/120$
29中 $\sqrt{1.04}$ をテイラー展開で2次まで近似。
解答
$(1+x)^{1/2}\approx 1+x/2-x^2/8$, $x=0.04$ で$1.0198$
30中 $\log(1.1)$をマクローリンで4次まで。
解答
$x-x^2/2+x^3/3-x^4/4=0.1-0.005+0.000333-0.000025=0.09531$
31難 平均値定理で$|\sin x-\sin y|\le|x-y|$ を示せ。
解答
$\sin x-\sin y=\cos c(x-y)$, $|\cos c|\le 1$。
32中 $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$ をテイラーで$(x-1)$の式にせよ。
解答
$=(x-1)^4$（覚えてる人は瞬殺）
33中 $f(x)=\arctan x$ の$f^{(2024)}(0)$は？
解答
偶数階導関数は0なので$0$。
34中 凸関数の特徴付け：$f''\ge 0$ なら$f((x+y)/2)\le(f(x)+f(y))/2$ を示せ。
解答
テイラー2次展開で剰余項が非負。
35難 $f(x)=e^{-1/x^2}\,(x\neq0),f(0)=0$ は$C^\infty$だがマクローリン級数は$f$と一致しないことを示せ。
解答
すべての$f^{(n)}(0)=0$（帰納法）。マクローリン$=0$だが$f\not\equiv0$。
C. 不定積分（問36〜55）
36易 $\int(2x^3-x+1)dx$
解答
$x^4/2-x^2/2+x+C$
37易 $\int\dfrac{1}{x^2+4}dx$
解答
$\frac{1}{2}\arctan(x/2)+C$
38易 $\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
解答
$\arcsin x+C$
39中 置換$\int xe^{x^2}dx$
解答
$u=x^2$ で $\frac{1}{2}e^{x^2}+C$
40中 $\int\tan x\,dx$
解答
$=-\log|\cos x|+C$
41中 $\int\dfrac{1}{\sin x}dx$
解答
$\log|\tan(x/2)|+C$（半角置換 $t=\tan(x/2)$）
42中 部分積分$\int x e^x dx$
解答
$xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$
43中 $\int x^2\sin x\,dx$
解答
部分積分2回。$=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$
44中 $\int\log x\,dx$
解答
部分積分（$dv=dx$）で$x\log x-x+C$
45中 $\int e^x\sin x\,dx$
解答
2回部分積分→$\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$
46中 $\int\dfrac{1}{x^2-1}dx$
解答
部分分数で$\frac{1}{2}\log\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C$
47中 $\int\dfrac{x+1}{x^2+x+1}dx$
解答
$=\frac{1}{2}\log(x^2+x+1)+\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}+C$
48中 $\int\sqrt{1-x^2}dx$
解答
$x=\sin\theta$ で $\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+C$
49中 $\int\sec x\,dx$
解答
$\log|\sec x+\tan x|+C$（要暗記）
50難 $\int\dfrac{1}{x^4+1}dx$
解答
因数分解 $x^4+1=(x^2-\sqrt2 x+1)(x^2+\sqrt2 x+1)$ → 部分分数。長いので省略。
51中 $\int\sin^2 x\,dx$
解答
半角公式で$x/2-\sin 2x/4+C$
52中 $\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx$
解答
$u=\cos x$ で $-\cos^3 x/3+\cos^5 x/5+C$
53中 $\int\sqrt{x^2+1}dx$
解答
$x=\sinh t$ または部分積分で$\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1}+\sinh^{-1}x)+C$
54中 $I_n=\int\sin^n x\,dx$ の漸化式を導け。
解答
$I_n=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$
55難 $\int e^{-x^2}dx$ は初等関数で表せないことを認め、誤差関数$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt$ を用いて表せ。
解答
$=\frac{\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(x)+C$
D. 定積分・応用（問56〜80）
56易 $\int_0^1 x^2 dx$
解答
$1/3$
57易 $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$
解答
$1$
58中 $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$
解答
$\pi/4$
59中 $\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx$
解答
$\arctan 1=\pi/4$
60中 $\int_0^1 x e^{-x}dx$
解答
$1-2/e$
61中 $\int_{-1}^1(1-x^2)^{n}dx$（$n$自然数）の漸化式は？
解答
$I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}\Rightarrow I_n=\frac{(2n)!!\cdot 2}{(2n+1)!!}$
62中 ウォリス積分$W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ を求めよ。
解答
偶数$n=2k$: $\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{\pi}{2}$, 奇数$n=2k+1$: $\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$
63中 $y=x^2,y=2-x^2$ で囲まれる面積。
解答
交点$x=\pm1$, $\int_{-1}^1(2-2x^2)dx=8/3$
64中 $y=x^2$ を$y$軸まわりに回転した、$0\le y\le 1$の体積。
解答
$\pi\int_0^1 y\,dy=\pi/2$
65中 $y=\cosh x$, $0\le x\le 1$ の曲線の長さ。
解答
$\int_0^1\sqrt{1+\sinh^2 x}dx=\int_0^1\cosh x\,dx=\sinh 1$
66中 半径$R$の球の体積を積分で導け。
解答
$\pi\int_{-R}^R(R^2-x^2)dx=4\pi R^3/3$
67中 サイクロイド$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$, $0\le t\le 2\pi$ の弧長。
解答
$\int_0^{2\pi}\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt=\int_0^{2\pi}2a\sin(t/2)dt=8a$
68中 $\int_0^{\pi}|\sin x\cos x|dx$
解答
対称性から$2\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=1$
69中 偶関数・奇関数の対称積分：$\int_{-a}^a x^3\sin x\,dx$
解答
奇関数$\times$奇関数$=$偶関数。…と思いきや$x^3\sin x$は偶。なのでゼロではない。実計算が必要。$=$（具体値は部分積分で計算可能）。判定だけなら積分自体は0でない。
70易 $\int_{-1}^1 x^3 dx$
解答
$=0$（奇関数）
71中 $F(x)=\int_0^x \sin t^2 dt$ について$F'(x)$は？
解答
$\sin x^2$（基本定理）
72中 $F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt$ について$F'(x)$は？
解答
$2x e^{-x^4}$（合成）
73中 区分求積で$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n)^2}$
解答
$=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\pi/4$
74中 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi/2$ を用いて$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$。
解答
$=\sqrt\pi$
75中 $\int_0^1\dfrac{\log(1+x)}{1+x^2}dx$（フェイマンの積分のひとつ）
解答
$x=\tan\theta$ 置換で$\int_0^{\pi/4}\log(1+\tan\theta)d\theta=\frac{\pi}{8}\log 2$
76難 $\int_0^\infty\dfrac{\sin x}{x}dx=\pi/2$ を一般論抜きで認め、$\int_0^\infty\dfrac{\sin^2 x}{x^2}dx$。
解答
$=\pi/2$
77中 $\int_0^1 x^a(1-x)^b dx$ をベータ関数$B(a+1,b+1)$で表せ。
解答
$=B(a+1,b+1)=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+2)}$
78中 $\int_0^\infty x^3 e^{-x}dx$ をガンマで。
解答
$=\Gamma(4)=3!=6$
79中 平均値の定理（積分形）：$f$連続なら$\exists c\in[a,b],\,\int_a^b f=f(c)(b-a)$。$f(x)=x^2,[0,1]$で$c$を求めよ。
解答
$\int=1/3$, $f(c)=1/3\Rightarrow c=1/\sqrt3$
80難 $\int_0^\pi\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx$
解答
$x\to\pi-x$ 置換と元の和を取って $I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx=\frac{\pi}{2}[\arctan\cos x]^0_\pi=\pi^2/4$
E. 広義積分・級数（問81〜100）
81易 $\int_1^\infty\dfrac{1}{x^2}dx$
解答
$=1$
82易 $\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt x}dx$
解答
$=2$
83中 $\int_1^\infty\dfrac{1}{x\log x}dx$ の収束判定。
解答
$u=\log x$ で$\int 1/u\,du=\log u\to\infty$。発散。
84中 $\int_1^\infty\dfrac{1}{x(\log x)^2}dx$
解答
$=1/\log 1$… ではなく $u=\log x$ で$\int_0^\infty 1/u^2 du$。$u=0$近くで発散。再検討：$\int_1^\infty=[-1/\log x]_1^\infty=$$\infty-(-\infty)$でNG。実は$\int_e^\infty$で考えるのが普通。$\int_e^\infty=1$。
85中 $\Gamma(5/2)$
解答
$\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt\pi=\frac{3\sqrt\pi}{4}$
86中 $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n+1)}$
解答
$\sum(1/n-1/(n+1))=1$（望遠鏡和）
87中 $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}=\pi^2/6$ を用いて $\sum 1/(2n-1)^2$。
解答
$\pi^2/6-\pi^2/24=\pi^2/8$
88中 ダランベールで$\sum\dfrac{n!}{n^n}$ の収束判定。
解答
比$=\frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n}=\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{(1+1/n)^n}\to 1/e<1$。収束。
89中 $\sum\dfrac{1}{n!}$
解答
$=e-1$（あるいは$=e$ from $n=0$）
90中 $\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$
解答
$=\log 2$（ライプニッツ収束）
91中 冪級数$\sum a_n x^n$, $a_n=1/n^2$ の収束半径。
解答
$R=\lim|a_n/a_{n+1}|=1$
92中 $\sum n x^{n-1}$ の和（$|x|<1$）。
解答
$\frac{d}{dx}\sum x^n=\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}$
93中 $\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}$ の収束半径と和。
解答
$R=\infty$, 和$=e^x$
94中 $\sum\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$ の和（$|x|\le1$）。
解答
$=\arctan x$
95中 $\sum\dfrac{1}{n^p}$ の収束条件（$p$実数）。
解答
$p>1$（積分判定）
96中 交代調和級数は条件収束を示せ。
解答
$\sum (-1)^{n-1}/n$ 収束、$\sum 1/n$ 発散。
97難 $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$
解答
部分分数で$=1/4$
98難 $\zeta(2)=\pi^2/6$ を用いて$\sum\dfrac{1}{n^2(n+1)^2}$。
解答
$\frac{1}{n^2(n+1)^2}=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{2}{n(n+1)}$。和$=2\zeta(2)-1-2=\pi^2/3-3$。
99中 ガウス積分$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ から$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx$（$a>0$）。
解答
$=\sqrt{\pi/a}$
100難 $\int_0^\infty\dfrac{x}{e^x-1}dx=\zeta(2)\Gamma(2)=\pi^2/6$ を示せ。
解答
$\frac{1}{e^x-1}=\sum e^{-nx}$ より $\int_0^\infty x\sum e^{-nx}dx=\sum 1/n^2=\pi^2/6$。
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