📘 線形代数 完全ガイド ─ ヨビノリ式まとめ＆定期テスト対策問題集

このノートはYouTubeチャンネル「予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」」（ヨビノリたくみ）の線形代数入門シリーズ全23本の内容を体系的に整理し、図表で視覚化、さらに大学定期テストレベルの練習問題100問超を加えた決定版ノートです。

📑 目次

第I部　行列の基礎
1. 行列とは何か ／ 2. 行列の演算 ／ 3. 特殊な行列
第II部　行列式と逆行列
4. 行列式 ／ 5. 余因子展開とサラスの公式 ／ 6. 逆行列 ／ 7. クラメルの公式
第III部　連立一次方程式
8. 掃き出し法（ガウスの消去法） ／ 9. 階数（rank）と解の自由度
第IV部　ベクトル空間
10. ベクトル空間の定義 ／ 11. 一次独立と一次従属 ／ 12. 基底と次元
第V部　線形写像
13. 線形写像と表現行列 ／ 14. 像と核（rank-nullity定理）
第VI部　固有値・対角化
15. 固有値・固有ベクトル ／ 16. 対角化 ／ 17. 対称行列の直交対角化
第VII部　演習問題集
📝 練習問題100問＋解答

1. 行列とは何か

定義（行列）　数を縦と横に長方形に並べたもの。$m$行$n$列の行列を $m\times n$ 型という。 $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$$ $a_{ij}$は第$i$行第$j$列の成分（$i$=row, $j$=column）。

図で見る行列のサイズ

$2\times3$型 3列(列=column) 2行(行=row) $3\times2$ $3\times3$（正方行列）
ヨビノリ流ポイント💡「行は横、列は縦」とまず暗記。$m\times n$は「行$\times$列」の順で書く。

2. 行列の演算

2.1 和・差・スカラー倍

同じサイズの行列同士でのみ可。各成分ごとに足し引きする。スカラー倍は全成分を$k$倍。

2.2 行列の積（最重要）

定義　$A$が$m\times \boxed{n}$型, $B$が$\boxed{n}\times p$型のとき、積$AB$は$m\times p$型で $$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

「行ベクトル × 列ベクトル」の図解

$A$の第$i$行 $a_{i1}\;a_{i2}\;a_{i3}\;\cdots\;a_{in}$ $B$の第$j$列 $b_{1j}$ $b_{2j}$ $\vdots$ $b_{nj}$ $\Rightarrow (AB)_{ij}=\sum a_{ik}b_{kj}$
重要⚠️　行列の積は非可換：一般に $AB\neq BA$。
さらに $AB=O$ でも $A=O$ や $B=O$ とは限らない（零因子が存在）。

演算法則のまとめ

法則成立
$A+B=B+A$（交換）○
$(A+B)+C=A+(B+C)$（結合）○
$AB=BA$（積の交換）×（一般に成り立たない）
$(AB)C=A(BC)$（積の結合）○
$A(B+C)=AB+AC$（分配）○
$AB=O\Rightarrow A=O$ または $B=O$×

3. 特殊な行列

名前定義例
零行列 $O$すべての成分が0$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
単位行列 $E$（or $I_n$）対角が1, 他は0$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
対角行列対角以外が0$\begin{pmatrix}2&0\\0&-3\end{pmatrix}$
転置行列 $A^\top$行と列を入れ替え$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^\top=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$
対称行列$A^\top=A$$\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$
交代（反対称）行列$A^\top=-A$$\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$
三角行列対角の片側がすべて0上三角$\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
直交行列$A^\top A=E$$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
転置の重要公式　$(AB)^\top=B^\top A^\top$（順番が逆になる！）

4. 行列式（determinant）

2次の行列式　$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
3次の行列式（サラスの公式） $$\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$

サラスの図解（3次のみ使える！）

abc def ghi ab de gh ＋方向（右下） −方向（右上）
⚠️ サラスの公式は3次までしか使えない！4次以上は余因子展開を使う。

行列式の性質まとめ

性質内容
転置不変$\det A^\top=\det A$
行（列）の入替符号が反転
同じ行（列）あり$\det A=0$
行のスカラー倍$\det$も$k$倍
行への加法他の行の定数倍を足しても不変
積の性質$\det(AB)=\det A\cdot\det B$
逆行列$\det A^{-1}=1/\det A$
三角行列対角成分の積

5. 余因子展開

余因子　$\tilde a_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}$（$M_{ij}$は$i$行$j$列を除いた小行列）
余因子展開（第$i$行）　$\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\tilde a_{ij}$

符号パターン（チェッカーボード）

＋−＋−
−＋−＋
＋−＋−
−＋−＋
例　$\det\begin{pmatrix}1&2&0\\3&1&4\\0&5&2\end{pmatrix}$ を第3行で展開： $$=0\cdot\tilde a_{31}+5\cdot\tilde a_{32}+2\cdot\tilde a_{33}$$ $$=5\cdot(-1)\det\begin{pmatrix}1&0\\3&4\end{pmatrix}+2\det\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}=-5\cdot4+2\cdot(-5)=-30$$
💡 0が多い行・列で展開すると計算がラク！

6. 逆行列

定義　$AB=BA=E$ となる$B$を$A$の逆行列といい$A^{-1}$と書く。
$A$が逆行列を持つ ⇔ $\det A\neq 0$（このとき正則という）。

2次の逆行列公式（暗記必須）

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\ \det A=ad-bc\neq 0$ のとき $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$ （対角を入替、非対角に−を付けて、行列式で割る）

n次の逆行列：余因子行列法

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,\tilde A^\top$
ここで$\tilde A=(\tilde a_{ij})$は余因子行列。$\tilde A^\top$は随伴行列と呼ぶ。

掃き出し法による逆行列計算（実戦的）

$[A\,|\,E]$ という拡大行列を作り、行基本変形で $[E\,|\,A^{-1}]$ にする。
$[\,A\;|\;E\,]$ $\xrightarrow{\text{行基本変形}}$ $[\,E\;|\;A^{-1}\,]$

7. クラメルの公式

連立$n$元1次方程式 $A\vec x=\vec b$ で$\det A\neq 0$ のとき $$x_i=\frac{\det A_i}{\det A}$$ （$A_i$は$A$の$i$列目を$\vec b$に置き換えた行列）
例　$\begin{cases}x+2y=5\\3x+4y=11\end{cases}$
$\det A=4-6=-2$, $\det A_1=\det\begin{pmatrix}5&2\\11&4\end{pmatrix}=-2$, $\det A_2=\det\begin{pmatrix}1&5\\3&11\end{pmatrix}=-4$
よって $x=1,\ y=2$。

8. 掃き出し法（ガウスの消去法）

3つの行基本変形

記号操作
$R_i\leftrightarrow R_j$2つの行を入れ替える
$R_i\to kR_i\ (k\neq0)$行を定数倍する
$R_i\to R_i+kR_j$他の行の$k$倍を足す
簡約階段形（reduced row echelon form, RREF）

掃き出しの図イメージ

[* * * * | *] [1 * * * | *] [1 0 * 0 | *] [* * * * | *] → [0 1 * * | *] → [0 1 * 0 | *] [* * * * | *] [0 0 1 * | *] [0 0 1 0 | *] [* * * * | *] [0 0 0 1 | *] [0 0 0 1 | *] 原型 階段形 簡約階段形(RREF)

9. 階数（rank）と解の自由度

階数 rank $A$　行基本変形で簡約階段形にしたときの主成分の個数（＝0でない行の数）。
解の存在と一意性（基本定理）　連立$A\vec x=\vec b$（未知数$n$個）について
条件解の様子
rank $A=$ rank $[A|\vec b]=n$ただ一つの解
rank $A=$ rank $[A|\vec b]=r$n-r$個の自由度をもつ無限解
rank $A<$ rank $[A|\vec b]$解なし

10. ベクトル空間

ベクトル空間　集合$V$と体$\mathbb K$（通常$\mathbb R$または$\mathbb C$）に対し、和とスカラー倍が定義され、次の8公理を満たすとき$V$をベクトル空間という。
  1. $\vec u+\vec v=\vec v+\vec u$
  2. $(\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w)$
  3. 零ベクトル$\vec 0$が存在
  4. 各$\vec u$に逆元$-\vec u$が存在
  5. $1\vec u=\vec u$
  6. $(kl)\vec u=k(l\vec u)$
  7. $k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v$
  8. $(k+l)\vec u=k\vec u+l\vec u$
部分空間　$W\subset V$が部分空間 ⇔ (i)$\vec 0\in W$、(ii)和で閉じる、(iii)スカラー倍で閉じる。

11. 一次独立と一次従属

$\vec v_1,\dots,\vec v_n$ が一次独立 $$\Longleftrightarrow\ c_1\vec v_1+\cdots+c_n\vec v_n=\vec 0\ \Rightarrow\ c_1=\cdots=c_n=0$$ そうでないとき一次従属。

図でのイメージ

一次独立（平行でない） 一次従属（平行）
判定法　$n$本のベクトル$\vec v_1,\dots,\vec v_n\in\mathbb R^n$を列にもつ行列を$A$とすると
一次独立 $\Leftrightarrow\ \det A\neq 0\ \Leftrightarrow\ $ rank$A=n$

12. 基底と次元

基底　$V$を張り、かつ一次独立であるベクトルの組。
次元 $\dim V$　基底に含まれるベクトルの個数（基底の取り方によらず一定）。
空間標準基底次元
$\mathbb R^n$$\vec e_1,\dots,\vec e_n$$n$
$M_{m,n}(\mathbb R)$（行列）$E_{ij}$（$ij$成分のみ1）$mn$
$P_n$（$n$次以下多項式）$1,x,x^2,\dots,x^n$$n+1$

13. 線形写像と表現行列

線形写像　$f:V\to W$ が $$f(\vec u+\vec v)=f(\vec u)+f(\vec v),\qquad f(k\vec u)=k f(\vec u)$$ を満たすこと。これら2式は $f(c_1\vec u+c_2\vec v)=c_1f(\vec u)+c_2f(\vec v)$ にまとめられる。
表現行列　$V$の基底$\{\vec v_1,\dots,\vec v_n\}$, $W$の基底$\{\vec w_1,\dots,\vec w_m\}$をとり $$f(\vec v_j)=\sum_i a_{ij}\vec w_i$$ で得る行列$A=(a_{ij})$を$f$の表現行列という。

代表的な線形変換（$\mathbb R^2$）

変換表現行列
$x$軸対称$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
原点対称$\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
原点まわり$\theta$回転$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
$x$方向に$k$倍拡大$\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}$
$y=x$対称$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

14. 像と核（rank-nullity）

像　$\mathrm{Im}\,f=\{f(\vec v)\,|\,\vec v\in V\}$
核　$\mathrm{Ker}\,f=\{\vec v\in V\,|\,f(\vec v)=\vec 0\}$
次元定理（rank-nullity定理）　$f:V\to W$ について $$\dim V=\dim\mathrm{Ker}\,f+\dim\mathrm{Im}\,f$$ 表現行列$A$なら $\dim\mathrm{Im}\,f=$ rank$A$, $\dim\mathrm{Ker}\,f=n-$ rank$A$。
$V$ ($\dim V=n$) Ker $f$ $W$ Im $f$ (rank) $f$

15. 固有値・固有ベクトル

固有値・固有ベクトル　$A\vec x=\lambda\vec x\ (\vec x\neq\vec 0)$ となる $\lambda$ を固有値、$\vec x$ を固有ベクトルという。

固有値の求め方（3ステップ）

STEP1　特性方程式 $\det(A-\lambda E)=0$ を解いて $\lambda$ を出す
STEP2　各 $\lambda$ について $(A-\lambda E)\vec x=\vec 0$ を解いて固有ベクトルを出す
STEP3　固有空間の基底（一次独立な解）を取る

幾何学的イメージ

$\vec x$ $A\vec x=\lambda\vec x$ 固有ベクトル：方向不変、長さだけ$\lambda$倍 $A\vec y$（方向変わる） 非固有ベクトル
固有値の性質

16. 対角化

対角化可能の条件　$n\times n$行列$A$が一次独立な固有ベクトル$n$個をもつ ⇔ 対角化可能。
このとき $P=(\vec p_1\,\vec p_2\,\cdots\,\vec p_n)$（固有ベクトルを列に並べる）として $$P^{-1}AP=D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$$

対角化の流れ

A → 特性方程式 det(A−λE)=0 → 固有値 λ₁,…,λₙ → 固有ベクトル v₁,…,vₙ → P=[v₁ v₂ … vₙ] → P⁻¹AP = diag(λ₁,…,λₙ)

対角化の用途

$A^n$の計算　$A=PDP^{-1}$ ならば $A^n=PD^nP^{-1}$。
$D^n$は対角成分を$n$乗するだけなので超ラク！

17. 対称行列の直交対角化

スペクトル定理　実対称行列$A$は必ず直交行列で対角化できる。すなわち直交行列$P$（$P^\top P=E$）があって $$P^\top AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$$ さらに固有値はすべて実数、異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交。

直交対角化の手順

1. 固有値・固有ベクトルを出す
2. 同じ固有値の固有空間内でシュミット直交化
3. すべての固有ベクトルを正規化（長さ1）
4. それを列に並べた行列$P$が直交行列
💡 二次形式の標準化、主成分分析(PCA)、振動の固有モード解析など、応用が極めて広い。

📝 練習問題100問＋解答

難易度タグ：易＝基礎確認、中＝定期テスト典型、難＝応用・発展。
解答は▶を押すと開きます。

A. 行列の演算（問1〜15）

1易 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ について$A+B,\,A-B,\,3A$を求めよ。
解答$A+B=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$, $A-B=\begin{pmatrix}-4&-4\\-4&-4\end{pmatrix}$, $3A=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$
2易 上の$A,B$について$AB,BA$を求め、$AB\neq BA$を確認せよ。
解答$AB=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix}23&34\\31&46\end{pmatrix}$。よって$AB\neq BA$。
3易 $A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}$ について $A^2$ を計算せよ。
解答$A^2=\begin{pmatrix}-1&-4\\8&7\end{pmatrix}$
4中 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}$ について$AB$と$BA$を求め、いずれが定義可能か答えよ。
解答両方定義可能。$AB=\begin{pmatrix}4&5\\10&11\end{pmatrix}$（2×2）、$BA=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&7&9\end{pmatrix}$（3×3）。
5易 $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&-1\end{pmatrix}$ の転置$A^\top$を答えよ。
解答$A^\top=\begin{pmatrix}2&1\\3&-1\end{pmatrix}$
6中 $A,B$が$2\times2$行列のとき$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$は一般に成り立つか。
解答成り立たない。$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$であり$AB\neq BA$が一般。
7中 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ について$A^2$を求め、$A\neq O$ かつ$A^2=O$を確認。
解答$A^2=O$。これは零因子の例。$A\neq O$なのに$A\cdot A=O$となる。
8中 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ について$A^n$を予想し、数学的帰納法で証明せよ。
解答$A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$。$n=1$で正しい。$A^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$と仮定すると$A^{k+1}=A^k\cdot A=\begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$でOK。
9中 $A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ について$A^n$を求めよ。
解答$A^n=\begin{pmatrix}\cos n\theta&-\sin n\theta\\\sin n\theta&\cos n\theta\end{pmatrix}$（回転の合成）
10易 $A$が対称行列、$B$が交代行列のとき、$AB+BA$は対称か交代か。
解答$(AB+BA)^\top=B^\top A^\top+A^\top B^\top=-BA-AB=-(AB+BA)$。よって交代行列。
11中 任意の正方行列$A$は対称行列と交代行列の和で書けることを示せ。
解答$A=\frac{A+A^\top}{2}+\frac{A-A^\top}{2}$。前者は対称、後者は交代。
12中 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ について$A+A^\top$と$A-A^\top$を求めよ。
解答$A+A^\top=\begin{pmatrix}2&5\\5&8\end{pmatrix}$（対称）、$A-A^\top=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$（交代）。
13難 $A,B$が同じ$n$次正方行列で$AB=A+B$ならば$AB=BA$を示せ。
解答$AB-A-B=O\Rightarrow (A-E)(B-E)=E\Rightarrow B-E=(A-E)^{-1}$。よって$(A-E)$と$(B-E)$は可換だから$AB=BA$。
14中 $A^\top A=O$ ならば $A=O$ を示せ（$A$は実行列）。
解答$(A^\top A)$の$ii$成分$=\sum_k a_{ki}^2=0\Rightarrow a_{ki}=0\ \forall k,i\Rightarrow A=O$。
15中 tr$(AB)=$tr$(BA)$を示せ。
解答tr$(AB)=\sum_i(AB)_{ii}=\sum_i\sum_k a_{ik}b_{ki}=\sum_k\sum_i b_{ki}a_{ik}=\sum_k(BA)_{kk}=$tr$(BA)$。

B. 行列式（問16〜30）

16易 $\det\begin{pmatrix}3&-2\\1&4\end{pmatrix}$を求めよ。
解答$3\cdot4-(-2)\cdot1=14$
17易 $\det\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&4\\0&0&-1\end{pmatrix}$を求めよ。
解答三角行列なので対角の積$=1\cdot3\cdot(-1)=-3$。
18中 $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$をサラスで求めよ。
解答$1\cdot5\cdot9+2\cdot6\cdot7+3\cdot4\cdot8-3\cdot5\cdot7-2\cdot4\cdot9-1\cdot6\cdot8=45+84+96-105-72-48=0$。
19中 $\det\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\\-1&2&1\end{pmatrix}$を求めよ。
解答$2(0-4)-(-1)(1+2)+3(2-0)=-8+3+6=1$。
20中 $\det\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}$を因数分解せよ（ヴァンデルモンド行列式）。
解答$=(b-a)(c-a)(c-b)$
21中 4次の行列式 $\det\begin{pmatrix}1&0&2&0\\3&1&0&2\\0&0&1&3\\0&0&2&1\end{pmatrix}$ をブロック対角の要領で求めよ。
解答左上ブロック$\det\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}=1$、右下ブロック$\det\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}=-5$。積$-5$。
22中 $\det A=5$のとき$\det(2A)$は？（$A$は$3\times3$）
解答$\det(kA)=k^n\det A$より$2^3\cdot5=40$。
23中 $\det A=3$のとき$\det(A^{-1})$と$\det(A^\top A)$を求めよ。
解答$\det A^{-1}=1/3$、$\det(A^\top A)=(\det A)^2=9$。
24中 余因子展開で第2列で展開して$\det\begin{pmatrix}2&3&1\\0&5&-1\\4&-2&3\end{pmatrix}$を求めよ。
解答$-3\det\begin{pmatrix}0&-1\\4&3\end{pmatrix}+5\det\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}-(-2)\det\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}=-3(4)+5(2)+2(-2)=-12+10-4=-6$。
25難 $n$次正方行列$A$について$\det(\mathrm{adj}\,A)=(\det A)^{n-1}$を示せ。
解答$A\cdot\mathrm{adj}\,A=(\det A)E$。両辺の行列式をとり$\det A\cdot\det(\mathrm{adj}\,A)=(\det A)^n$。$\det A\neq0$で割る。$\det A=0$の場合は連続性で別証。
26中 $\det\begin{pmatrix}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{pmatrix}$を求めよ。
解答$=3abc-a^3-b^3-c^3=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。
27中 $A,B$が3次正方で$\det A=2,\det B=-3$なら$\det(A^2B^\top)$は？
解答$(\det A)^2\det B^\top=4\cdot(-3)=-12$。
28中 $\det\begin{pmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{pmatrix}$を因数分解せよ。
解答$(x-1)^2(x+2)$
29難 $\det\begin{pmatrix}1+a&1&1&1\\1&1+b&1&1\\1&1&1+c&1\\1&1&1&1+d\end{pmatrix}=abcd\Big(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\Big)$ を示せ（$abcd\neq0$）。
解答各列から1を引いて1行に集めるトリック。第1行を残して各行から第1行を引き、対角化的に整理。詳しくは演習書参照。
30中 2点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$を通る直線の方程式を行列式で書け。
解答$\det\begin{pmatrix}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{pmatrix}=0$

C. 逆行列（問31〜40）

31易 $\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。
解答$\det=1$なので$\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$。
32易 $\begin{pmatrix}3&5\\2&4\end{pmatrix}^{-1}$を求めよ。
解答$\det=2$。$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-5\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-5/2\\-1&3/2\end{pmatrix}$。
33中 掃き出し法で$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。
解答$\det A=1$。逆行列は$\begin{pmatrix}-24&18&-5\\20&-15&4\\-5&4&-1\end{pmatrix}$。
34中 $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。
解答$\det A=2$。$A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$。
35中 $A^2-3A+2E=O$なら$A^{-1}$を$A$と$E$で表せ。
解答$A(A-3E)=-2E\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{2}(3E-A)$。
36中 $(A+E)(A-E)=O$ かつ $A\neq\pm E$ のとき、$A$は正則か。
解答正則とは限らない（$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$は正則だが、$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}=O$型を考慮）。実際の判定は$\det A\neq 0$による。
37中 $A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。
解答$\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}$
38中 $A,B$が同サイズの正則行列のとき$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$を示せ。
解答$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=E$。
39難 $A=E+N,N^k=O$（冪零）のとき$A^{-1}=E-N+N^2-\cdots+(-1)^{k-1}N^{k-1}$を示せ。
解答$(E+N)(E-N+N^2-\cdots)=E+(-1)^{k-1}N^k\cdot(-1)=E$。
40中 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}^{-1}$ を求めよ。
解答$\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$（$-\theta$回転）。これは直交行列なので$A^\top$と一致。

D. 連立一次方程式・rank（問41〜55）

41易 $\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}$ を掃き出しで解け。
解答$x=1,y=2$。
42中 $\begin{cases}x+2y+z=4\\2x+y-z=1\\3x+y+2z=5\end{cases}$ を解け。
解答$x=1,y=1,z=1$。
43中 クラメルで$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=-1\end{cases}$ を解け。
解答$\det=-5$, $x=\det\begin{pmatrix}8&3\\-1&-1\end{pmatrix}/(-5)=(-5)/(-5)=1$, $y=\det\begin{pmatrix}2&8\\1&-1\end{pmatrix}/(-5)=(-10)/(-5)=2$。
44中 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$ のrankを求めよ。
解答2行目と3行目は1行目の倍。よってrank$=1$。
45中 rank$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&3&5&7\end{pmatrix}$を求めよ。
解答2行目は1行目×2、3行目−1行目=$(0,1,2,3)$。階段形にして主成分2個。rank$=2$。
46中 $\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=4\\2x+3y+4z=5\end{cases}$ の解の個数は？
解答3行目=1行目+2行目だが定数項が$5\neq1+4=5$（あれ一致）。再計算：$1+4=5$でOK。係数行列のrank$=2$、拡大行列のrank$=2$、未知数3個。よって$3-2=1$自由度の無限解。$x=-2+t,y=3-2t,z=t$。
47中 $\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=3\end{cases}$ は解をもつか。
解答係数行列のrank=1, 拡大行列のrank=2。一致しないので解なし。
48中 同次系$A\vec x=\vec 0$ が非自明解をもつ条件は？
解答$\det A=0$（正方行列の場合）⇔ rank$A
49中 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\3&6\end{pmatrix}$ について$A\vec x=\vec 0$の解空間の次元は？
解答未知数2、rank$A=1$。$2-1=1$次元。
50難 同次系 $\begin{cases}x+y+z=0\\2x+y-z=0\\x+2y+kz=0\end{cases}$ が非自明解をもつ$k$を求めよ。
解答$\det\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&-1\\1&2&k\end{pmatrix}=0$を解いて$k=4$。
51中 パラメータ$a$を含む系$\begin{cases}x+y=1\\ax+y=2\end{cases}$ の解の様子を$a$で分類せよ。
解答$a\neq1$なら一意解 $x=\tfrac{1}{a-1},y=\tfrac{a-2}{a-1}$。$a=1$なら$y=1-x$と$y=2-x$で矛盾→解なし。
52難 $\begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+z=a\\x+y+az=a^2\end{cases}$ について$a$ごとに解を分類。
解答係数行列式$=(a-1)^2$。$a\neq1$で一意解。$a=1$なら全行が同じになり拡大行列も整合→自由度2の無限解。
53中 $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\geq \mathrm{rank}(A+B)$ を示せ（同サイズ）。
解答$\mathrm{Im}(A+B)\subset\mathrm{Im}A+\mathrm{Im}B$より$\dim\mathrm{Im}(A+B)\leq\dim\mathrm{Im}A+\dim\mathrm{Im}B$。
54中 $\mathrm{rank}(AB)\leq\min(\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B)$ を示せ。
解答$\mathrm{Im}(AB)\subset\mathrm{Im}A$より$\mathrm{rank}(AB)\leq\mathrm{rank}A$。$\mathrm{Ker}(AB)\supset\mathrm{Ker}B$を使えば$\leq\mathrm{rank}B$も。
55中 rank が3のとき、5×5係数行列の同次系の解空間の次元は？
解答$5-3=2$次元。

E. ベクトル空間・基底（問56〜70）

56易 $\vec a=(1,2),\vec b=(3,4)$ は$\mathbb R^2$で一次独立か。
解答$\det\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=-2\neq0$。独立。
57中 $(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)$ は一次独立か。
解答2番目が1番目の2倍なので従属。
58中 $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$ は$\mathbb R^3$の基底か。
解答$\det\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}=-2\neq0$。基底。
59中 部分空間 $W=\{(x,y,z)\,|\,x+y+z=0\}\subset\mathbb R^3$ の次元と基底を求めよ。
解答$z=-x-y$より$(1,0,-1),(0,1,-1)$が基底。次元2。
60中 $\mathbb R^3$の部分空間 $W=\mathrm{span}\{(1,2,1),(2,1,3),(1,-1,2)\}$ の次元は？
解答3つを行に並べて掃き出し→主成分2個。次元2。
61中 多項式空間$P_2$（次数$\leq2$）の基底$1,x,x^2$から$1,1+x,1+x+x^2$への変換行列は？
解答$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
62中 $W_1=\{(x,0)\},W_2=\{(0,y)\}\subset\mathbb R^2$。$W_1+W_2,W_1\cap W_2$は？
解答$W_1+W_2=\mathbb R^2$（次元2）、$W_1\cap W_2=\{\vec0\}$（次元0）。
63中 $\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$ を示せ。
解答$W_1\cap W_2$の基底を$W_1,W_2$各々に拡張する標準的な議論。
64易 $V$の任意の3個のベクトルが$\dim V=2$なら必ず一次従属か。
解答はい。$\dim V$より多い個数のベクトルは必ず従属。
65中 $\mathbb R^2$の標準基底$\{e_1,e_2\}$から$\{(2,1),(1,1)\}$への基底変換行列を求めよ。
解答$P=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$（新基底を列に）。
66中 上の問題で、$\vec v=(3,2)$の新基底での座標を求めよ。
解答$P^{-1}\vec v$。$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$。$P^{-1}\vec v=(1,1)^\top$。
67中 $\mathbb R^3$の$\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}$をシュミット直交化せよ。
解答$\vec u_1=(1,0,1)$。$\vec u_2=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,0,1)=(-1/2,1,1/2)$。$\vec u_3$は省略（教科書参照）。
68中 $\mathbb R^4$の超平面$x_1+x_2+x_3+x_4=0$の基底と次元を求めよ。
解答次元3。$(1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(1,0,0,-1)$など。
69難 関数空間で $1,\cos x,\cos 2x$ は一次独立か。
解答独立。$a+b\cos x+c\cos 2x=0$（恒等式）から$x=0,\pi/2,\pi$代入で$a=b=c=0$。
70中 $2\times2$対称行列全体のなす空間の次元は？
解答$\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$で自由度3。次元3。基底$E_{11},E_{22},E_{12}+E_{21}$。

F. 線形写像（問71〜80）

71易 $f(x,y)=(x+y,x-y)$ は線形写像か。表現行列を求めよ。
解答線形。$\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$。
72易 $f(x,y)=(x+1,y)$ は線形写像か。
解答$f(0,0)=(1,0)\neq(0,0)$なので線形でない。
73中 反時計回り$60°$の回転変換の表現行列を求めよ。
解答$\begin{pmatrix}1/2&-\sqrt3/2\\\sqrt3/2&1/2\end{pmatrix}$
74中 直線$y=x$に関する対称変換の表現行列を求めよ。
解答$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
75中 $f:P_2\to P_2$ を$f(p)=p'$（微分）で定める。基底$\{1,x,x^2\}$での表現行列は？
解答$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}$
76中 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, 表現行列$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$。$\mathrm{Im}\,f,\mathrm{Ker}\,f$の次元は？
解答rank$A=1$なので$\dim\mathrm{Im}=1,\dim\mathrm{Ker}=3-1=2$。
77中 rank-nullityで$f:\mathbb R^4\to\mathbb R^3$, rank$=2$ のとき$\dim\mathrm{Ker}\,f$は？
解答$4-2=2$。
78中 $f$が全射 ⇔ rank$=\dim W$、$f$が単射 ⇔ Ker$f=\{0\}$ を確認せよ。
解答定義から直ちに従う。
79中 $\mathbb R^n\to\mathbb R^n$の線形写像が単射 ⇔ 全射 ⇔ 同型 を示せ。
解答rank-nullityで$\dim\mathrm{Im}+\dim\mathrm{Ker}=n$。Ker=0と$\dim\mathrm{Im}=n$は同値。
80難 $A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&3&5\\1&2&3\end{pmatrix}$ について$\mathrm{Im}\,A$と$\mathrm{Ker}\,A$の基底を具体的に求めよ。
解答掃き出して階段形：rank=2。Imの基底は1,2列目。Ker：$x_1+x_2+2x_3=0,x_2+x_3=0\Rightarrow(x_1,x_2,x_3)=t(-1,-1,1)$。

G. 固有値・対角化（問81〜100）

81易 $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ の固有値を求めよ。
解答三角行列なので対角$\lambda=3,2$。
82易 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ の固有値・固有ベクトルを求めよ。
解答$\lambda^2-4\lambda+3=0\Rightarrow\lambda=1,3$。$\lambda=1$で$(1,-1)^\top$、$\lambda=3$で$(1,1)^\top$。
83中 $A=\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}$ の固有値・固有ベクトルを求め、対角化せよ。
解答$\lambda=2,3$。$\lambda=2$で$(1,1)^\top$、$\lambda=3$で$(2,1)^\top$。$P=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}$, $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(2,3)$。
84中 $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ の固有値と$A^{100}$を求めよ。
解答$\lambda=\pm1$。$A^2=E$なので$A^{100}=E$。
85中 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ は対角化可能か。
解答固有値は$1$（重複度2）。固有ベクトルは$(1,0)^\top$のみ（次元1）。よって対角化不可（ジョルダン標準形必要）。
86中 $A=\begin{pmatrix}1&-3&3\\3&-5&3\\6&-6&4\end{pmatrix}$ の固有値を求めよ。
解答特性多項式$=-(\lambda-4)(\lambda+2)^2$。$\lambda=4,-2,-2$。
87難 上の$A$は対角化可能か判定せよ。
解答$\lambda=-2$の固有空間を解くと2次元。重複度と一致するので対角化可能。
88中 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ について、ケーリー・ハミルトン定理を用いて$A^2$を$A$と$E$で表せ。
解答特性多項式$\lambda^2-5\lambda-2$。よって$A^2=5A+2E$。
89中 上を使って$A^3$と$A^{-1}$を$A,E$で表せ。
解答$A^3=5A^2+2A=5(5A+2E)+2A=27A+10E$。$A^{-1}=\frac{1}{2}(A-5E)$（$A^2-5A=2E$より）。
90中 $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}$ を対角化し$A^{10}$を求めよ。
解答$\lambda=1,4$。$P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}$, $A^{10}=P\,\mathrm{diag}(1,4^{10})P^{-1}$。展開して具体値。
91中 対称行列 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ を直交対角化せよ。
解答$\lambda=1,3$。固有ベクトル$(1,-1)/\sqrt2,(1,1)/\sqrt2$。$P=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$。
92難 二次形式 $Q(x,y)=2x^2+2y^2+2xy$ を主軸変換で標準化せよ。
解答係数行列$\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。固有値$1,3$。標準形 $X^2+3Y^2$。
93難 二次曲線 $5x^2-4xy+5y^2=9$ の標準形を求め、種類を判定せよ。
解答係数行列$\begin{pmatrix}5&-2\\-2&5\end{pmatrix}$、$\lambda=3,7$。$3X^2+7Y^2=9$。楕円。
94中 $A=\begin{pmatrix}5&-3\\6&-4\end{pmatrix}$ で$A^n$を求めよ。
解答$\lambda=2,-1$。$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ 等から$A^n=\begin{pmatrix}3\cdot2^n-2(-1)^n&-3\cdot2^n+3(-1)^n\\6\cdot2^n-6(-1)^n&-6\cdot2^n+7\cdot(-1)^n\end{pmatrix}$（要詳細計算）。
95中 漸化式 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（フィボナッチ）を行列で表し、固有値で一般項を求めよ。
解答$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{pmatrix}$。$\lambda=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$。ビネの公式$a_n=\frac{\phi^n-\psi^n}{\sqrt5}$。
96中 $A$の固有値が$2,3,5$なら$\det A,$tr$A$は？
解答$\det A=30$, tr$A=10$。
97中 $A^2=A$（射影行列）の固有値は何か。
解答$A\vec x=\lambda\vec x\Rightarrow A^2\vec x=\lambda^2\vec x=A\vec x=\lambda\vec x\Rightarrow \lambda^2=\lambda\Rightarrow\lambda=0,1$。
98中 直交行列の固有値の絶対値は1、を示せ。
解答$A\vec x=\lambda\vec x$, $|A\vec x|=|\vec x|$（直交）より$|\lambda|=1$。
99難 $A$が実対称なら異なる固有値の固有ベクトルは直交、を示せ。
解答$A\vec x=\lambda\vec x,A\vec y=\mu\vec y\,(\lambda\neq\mu)$。$\lambda\vec y^\top\vec x=\vec y^\top A\vec x=(A\vec y)^\top\vec x=\mu\vec y^\top\vec x$。$(\lambda-\mu)\vec y^\top\vec x=0\Rightarrow\vec y^\top\vec x=0$。
100難 $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$（離散ラプラシアン）を直交対角化せよ。
解答固有値$\lambda=2-\sqrt2,2,2+\sqrt2$。固有ベクトルはそれぞれ$(1,\sqrt2,1)$, $(1,0,-1)$, $(1,-\sqrt2,1)$（正規化要）。これらで$P$を作れば$P^\top AP=\mathrm{diag}(2-\sqrt2,2,2+\sqrt2)$。
★難総合演習　行列 $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$ について以下に答えよ。
(1) rank$A$、$\det A$、(2) Ker$A$の基底、(3) 固有値、(4) 直交対角化、(5) $A^{10}$の(1,1)成分。
解答(1) rank=2, det=0。(2) $A\vec x=\vec 0$より$\vec x=t(1,1,1)^\top$、基底$(1,1,1)$。(3) 特性多項式$=-\lambda^3+4\lambda^2-3\lambda=-\lambda(\lambda-1)(\lambda-3)$なので$\lambda=0,1,3$。(4) 固有ベクトルは$(1,1,1),(1,0,-1),(1,-2,1)$（正規化）。(5) $A=PDP^\top$なので$A^{10}=P\,\mathrm{diag}(0,1,3^{10})P^\top$。第(1,1)成分は$\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot 3^{10}=\frac{1}{2}+\frac{59049}{6}=\frac{59052}{6}=9842$。

📚 学習の進め方（ヨビノリ流アドバイス）

STEP1　まず1〜3章（行列の演算）を完璧に。
STEP2　行列式・逆行列を手で計算できるように（問16〜40を全問解く）。
STEP3　掃き出し法は「とにかく手を動かす」のみ。問41〜55で慣れる。
STEP4　ベクトル空間は定義に立ち戻るのが鉄則。抽象的なので一度で理解しようとしない。
STEP5　固有値・対角化は線形代数の山場。問81〜100は最低2周。
STEP6　試験前日は問★（総合演習）を時間内に解けるか確認。
📺 関連動画リスト（ヨビノリ「線形代数入門」シリーズ）
#1 行列とは／#2 行列の演算／#3 単位行列・零行列／#4 行列のべき乗／#5 行列式の意味／#6 サラスの公式／#7 余因子展開／#8 行列式の性質／#9 逆行列／#10 クラメルの公式／#11 連立方程式と掃き出し法／#12 階数（rank）／#13 ベクトル空間／#14 一次独立／#15 基底と次元／#16 線形写像／#17 表現行列／#18 像と核／#19 固有値・固有ベクトル／#20 対角化／#21 対称行列の対角化／#22 二次形式／#23 ケーリー・ハミルトン定理

― 線形代数完全ガイド 終 ―
頑張ってください！🔥