🎲 確率・統計 完全ガイド
大学1〜2年向けの確率・統計の決定版。基本概念→確率分布→推定検定までを図解＆練習問題100問で網羅。
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1. 確率の基礎
確率の公理（コルモゴロフ） 標本空間$\Omega$, 事象族$\mathcal F$, 確率$P:\mathcal F\to[0,1]$ が
- $P(A)\ge 0$
- $P(\Omega)=1$
- 互いに素な$A_1,A_2,\ldots$ に対し $P(\bigcup A_i)=\sum P(A_i)$
基本公式
| 名称 | 式 |
|---|
| 余事象 | $P(A^c)=1-P(A)$ |
| 包除原理 | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ |
| 3事象の包除 | $P(A\cup B\cup C)=\sum P(A)-\sum P(A\cap B)+P(A\cap B\cap C)$ |
2. 条件付き確率・ベイズの定理
条件付き確率 $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$（$P(B)>0$）
独立 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ⇔ $P(A|B)=P(A)$。
ベイズの定理
$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)P(A_j)}$$
（事前確率$P(A_i)$と尤度$P(B|A_i)$から事後確率を更新）
3. 確率変数
期待値 離散：$E[X]=\sum x_i P(X=x_i)$、連続：$E[X]=\int x f(x)\,dx$
分散 $V[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2$
期待値・分散の性質
| 公式 | 条件 |
|---|
| $E[aX+b]=aE[X]+b$ | 常に |
| $V[aX+b]=a^2V[X]$ | 常に |
| $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ | 常に（独立性不要） |
| $V[X+Y]=V[X]+V[Y]$ | $X,Y$独立のとき |
| $E[XY]=E[X]E[Y]$ | $X,Y$独立のとき |
4. 主要な離散分布
| 分布 | 確率関数 | $E[X]$ | $V[X]$ |
|---|
| ベルヌーイ Be($p$) | $P(X=1)=p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二項 Bin($n,p$) | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| ポアソン Po($\lambda$) | $\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 幾何 Geo($p$) | $(1-p)^{k-1}p$ | $1/p$ | $(1-p)/p^2$ |
| 負の二項 | $\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$ | $r/p$ | $r(1-p)/p^2$ |
| 超幾何 | $\dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ | $nK/N$ | (複雑) |
5. 主要な連続分布
| 分布 | 密度関数 | $E[X]$ | $V[X]$ |
|---|
| 一様 U($a,b$) | $\dfrac{1}{b-a}$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数 Ex($\lambda$) | $\lambda e^{-\lambda x}$ | $1/\lambda$ | $1/\lambda^2$ |
| 正規 N($\mu,\sigma^2$) | $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| ガンマ Ga($\alpha,\beta$) | $\dfrac{\beta^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$ | $\alpha/\beta$ | $\alpha/\beta^2$ |
| ベータ Be($\alpha,\beta$) | $\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ | $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ | $\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ |
| カイ二乗 $\chi^2(n)$ | $=\mathrm{Ga}(n/2,1/2)$ | $n$ | $2n$ |
正規分布の図
6. 多変数確率変数
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E[XY]-E[X]E[Y]$
相関係数 $\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\in[-1,1]$
分散の和の公式
$$V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$$
7. 大数の法則・中心極限定理
大数の弱法則 $X_1,\ldots,X_n$ iid, $E[X]=\mu,V[X]<\infty$ とすると$\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$。
中心極限定理（CLT） $\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1)$
💡 CLTは「どんな分布でも、たくさん足せば正規分布に近づく」という統計学の最重要結果。
8. 推定
不偏推定量 $E[\hat\theta]=\theta$ を満たす推定量。
標本平均$\bar X$は$\mu$の不偏推定量。$s^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$は$\sigma^2$の不偏推定量。
正規分布の信頼区間（$\sigma$既知）
$$\bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\quad(z_{0.025}=1.96)$$
$\sigma$未知のときは$t$分布を用い$\bar X\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s}{\sqrt n}$。
最尤推定（MLE）の手順
1. 尤度関数 $L(\theta)=\prod f(x_i;\theta)$ を作る
2. 対数取って $\ell(\theta)=\log L$
3. $\dfrac{\partial \ell}{\partial \theta}=0$ で$\hat\theta_{\rm MLE}$ を求める
9. 仮説検定
$H_0$（帰無仮説）vs $H_1$（対立仮説）。
有意水準$\alpha$（5%, 1%）で検定統計量が棄却域にあれば$H_0$を棄却。
| 真実\判定 | $H_0$採択 | $H_0$棄却 |
|---|
| $H_0$真 | 正解 | 第1種誤り（$\alpha$） |
| $H_1$真 | 第2種誤り（$\beta$） | 正解（検出力$1-\beta$） |
主要な検定
| 検定 | 統計量 | 分布 |
|---|
| 母平均（$\sigma$既知） | $\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$ | $N(0,1)$ |
| 母平均（$\sigma$未知） | $\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}$ | $t(n-1)$ |
| 母分散 | $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$ | $\chi^2(n-1)$ |
| 2標本平均差 | (プール分散使用) | $t$分布 |
| 適合度 | $\sum\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ | $\chi^2$ |
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📝 練習問題100問＋解答
A. 確率の基礎（問1〜15）
1易 サイコロ2個の和が7になる確率。
解答
$6/36=1/6$
2易 トランプ52枚から1枚引いてエースまたはハートの確率。
解答
$4/52+13/52-1/52=16/52=4/13$
3易 コイン3回で表3回の確率。
解答
$1/8$
4中 5人をランダムに並べる、AとBが隣り合う確率。
解答
$2\cdot4!/5!=2/5$
5中 30人クラスで誕生日が一致する人がいる確率（誕生日問題）。
解答
$1-\dfrac{365\cdot364\cdots336}{365^{30}}\approx 0.706$
6中 3人が独立に的中率$0.7$で射撃。少なくとも1人当てる確率。
解答
$1-0.3^3=0.973$
7中 サイコロを6回振り、6が少なくとも1回出る確率。
解答
$1-(5/6)^6\approx 0.665$
8中 包除：$P(A)=P(B)=P(C)=0.5,$ペア交わり$=0.3,$3つ交わり$=0.1$。$P(A\cup B\cup C)$は？
解答
$1.5-0.9+0.1=0.7$
9中 1〜100からランダムに1つ。3または5の倍数となる確率。
解答
$33/100+20/100-6/100=47/100$
10中 モンティ・ホール問題：3つのドア、車1台。最初に1つ選び、司会者がハズレを開ける。変えるべきか？
解答
変えると勝率$2/3$、変えないと$1/3$。変えるべき。
11中 $n$人がランダムに帽子をかぶる。誰も自分の帽子でない確率。
解答
完全順列。$\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!\to 1/e$
12易 排反と独立は同じか？
解答
違う。排反は$A\cap B=\emptyset$、独立は$P(A\cap B)=P(A)P(B)$。
13中 $A,B$独立で$P(A)=0.4,P(B)=0.5$。$P(A\cup B)$。
解答
$0.4+0.5-0.2=0.7$
14中 3人がじゃんけん、あいこになる確率。
解答
全員同じ手$3/27$＋全員違う手$3!/27=6/27$。和$=1/3$。
15中 5枚から3枚選ぶ組合せ数。
解答
$\binom{5}{3}=10$
B. 条件付き確率・ベイズ（問16〜30）
16易 サイコロで「偶数」と「3以下」、共に起きる条件付き確率$P(\text{3以下}|\text{偶数})$。
解答
偶数$=\{2,4,6\}$, その中で3以下は$\{2\}$。$1/3$
17中 病気の有病率1%, 検査の感度99%, 偽陽性率5%。陽性と判定された人が実際に病気の確率は？
解答
$\frac{0.01\cdot0.99}{0.01\cdot0.99+0.99\cdot0.05}\approx 0.167$（約17%！）
18中 2つの壺。壺Aは赤3白2、壺Bは赤1白4。1つの壺を等確率で選び赤を引いた。Aから引いた確率は？
解答
$\frac{(1/2)(3/5)}{(1/2)(3/5)+(1/2)(1/5)}=3/4$
19中 3つの箱。それぞれ金/銀コイン2枚、銀/銀、金/金。1つから1枚出すと金。もう1枚も金の確率。
解答
ベイズで $2/3$（ベルトランの箱の有名問題）
20中 「2人子供のうち少なくとも1人が男」と分かったとき、両方男の確率。
解答
$1/3$（誕生日順序付きで4通りのうち少なくとも1人男は3通り、両方男は1通り）
21中 全確率の公式：$P(B)=\sum P(B|A_i)P(A_i)$ を述べよ。
解答
分割$\{A_i\}$なら$P(B)=\sum_i P(A_i)P(B|A_i)$。
22中 工場A,B,Cの生産比$0.5,0.3,0.2$。不良率$0.01,0.02,0.03$。不良品はAから来た確率。
解答
分母$=0.5\cdot0.01+0.3\cdot0.02+0.2\cdot0.03=0.017$。$P(A|不)=0.005/0.017\approx 0.294$
23中 連鎖律：$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B)$ を用い、5枚から赤3枚連続引く確率（赤2白3、戻さず）。
解答
$\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot 0=0$。あ、赤は2枚しかないので不可能。問題を「3枚中3枚赤」じゃなく赤2白3で再設定すれば$2/5\cdot1/4=1/10$（2枚連続）に変えるべき。
24中 独立な事象$A,B$で$P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c)$ を示せ。
解答
$P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=(1-P(A))(1-P(B))$
25中 ある国で迷惑メール率0.7。「無料」が含まれる確率は迷惑$0.5$, 普通$0.05$。「無料」入りメールが迷惑の確率。
解答
$\frac{0.7\cdot0.5}{0.7\cdot0.5+0.3\cdot0.05}\approx 0.959$
26中 $A\subset B$ なら$P(A|B)=P(A)/P(B)$ を示せ。
解答
$A\cap B=A$ より定義から直接。
27中 シンプソンのパラドックスの簡単例を作れ。
解答
合計では女性合格率高いが、学部別では男性が高い、など（教科書参照）。
28中 $P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$ を示せ（ベイズ基本式）。
解答
共に$P(A\cap B)$。
29中 事象$A,B,C$ 互いに独立 ⇔ pairwise独立 か。
解答
違う。pairwise独立でも3項独立とは限らない（反例あり）。
30難 連続して3勝するか連続して3敗するまで続ける。各回独立で勝率$1/2$。3勝で終わる確率。
解答
対称性で$1/2$。
C. 確率変数・期待値（問31〜50）
31易 サイコロの目の期待値。
解答
$3.5$
32易 サイコロの分散。
解答
$E[X^2]=91/6$, $V[X]=91/6-(7/2)^2=35/12$
33中 $X\sim$Bin$(10,0.3)$ の期待値・分散。
解答
$E=3, V=2.1$
34中 $X\sim$Po$(\lambda)$ の積率母関数$M_X(t)=\exp(\lambda(e^t-1))$ を導け。
解答
$\sum_{k=0}^\infty e^{tk}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum\frac{(\lambda e^t)^k}{k!}=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}$
35中 Po$(\lambda)$の$E[X]$と$V[X]$を$M_X$から。
解答
$E[X]=M'(0)=\lambda$, $V[X]=M''(0)-M'(0)^2=\lambda$
36中 サイコロ2個の和$S$の期待値・分散。
解答
$E=7,V=70/12$
37中 幾何分布で「初めて成功するまでの試行回数」の期待値（成功率$p$）。
解答
$1/p$
38難 $X\sim$Geo$(p)$, $E[X^2]$は？
解答
$\frac{2-p}{p^2}$
39中 連続$X$, 密度$f(x)=2x$（$0\le x\le1$）の$E[X]$。
解答
$\int_0^1 2x^2 dx=2/3$
40中 $X\sim$U$(0,1)$ で$Y=-\log X$ の分布は？
解答
指数分布Ex$(1)$
41中 $X\sim$N$(0,1)$, $Y=X^2$ の分布。
解答
$\chi^2(1)$分布
42中 $X\sim$Ex$(\lambda)$, $E[X],V[X]$。
解答
$1/\lambda$, $1/\lambda^2$
43中 指数分布の無記憶性：$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$ を示せ。
解答
$P(X>x)=e^{-\lambda x}$より$\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}$。
44中 標準正規分布の積率母関数。
解答
$M_Z(t)=e^{t^2/2}$
45中 $X\sim$N$(\mu,\sigma^2)$ なら$M_X(t)=\exp(\mu t+\sigma^2 t^2/2)$ を示せ。
解答
$X=\mu+\sigma Z$ から$M_X(t)=e^{\mu t}M_Z(\sigma t)$。
46中 $X,Y\sim$N独立。$X+Y$の分布。
解答
$N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)$（積率母関数の積）
47中 $X,Y$独立で$X\sim$Po$(\lambda_1),Y\sim$Po$(\lambda_2)$なら$X+Y\sim$Po$(\lambda_1+\lambda_2)$ を示せ。
解答
積率母関数を掛ける。
48中 共分散の性質：$\mathrm{Cov}(aX,bY)=ab\mathrm{Cov}(X,Y)$ を示せ。
解答
定義から直接。
49中 独立 ⇒ 無相関、逆は成り立つか。
解答
独立⇒無相関は成り立つ。逆は反例：$X\sim$U$(-1,1),Y=X^2$。$\mathrm{Cov}=0$だが従属。
50中 線形変換$Y=aX+b$なら$\rho(X,Y)=\pm 1$。
解答
$a>0$で$+1$, $a<0$で$-1$。
D. 確率分布の応用（問51〜70）
51中 不良率3%の製品を100個。不良5個以下の確率（二項→正規近似）。
解答
$\mu=3,\sigma^2=2.91$。$P(X\le5)\approx \Phi((5.5-3)/\sqrt{2.91})\approx\Phi(1.47)\approx 0.929$
52中 1時間に平均5件の電話。1時間に8件以上の確率（ポアソン）。
解答
$P(X\ge 8)=1-\sum_{k=0}^7\frac{5^k e^{-5}}{k!}\approx 0.133$
53中 平均寿命1000時間の電球（指数）。500時間以内で壊れる確率。
解答
$1-e^{-0.5}\approx 0.393$
54中 $X\sim$N$(50,100)$ で$P(40\le X\le 60)$。
解答
$\sigma=10$。$P(-1\le Z\le 1)\approx 0.683$
55中 期末試験N$(60,15^2)$、上位10%の点数。
解答
$60+1.28\cdot 15\approx 79.2$
56中 二項Bin$(n,p)$ がポアソンPo$(\lambda)$ に近似するのは？
解答
$n\to\infty,p\to0,np=\lambda$固定のとき。
57中 1日に1万人が利用、確率$0.0001$で当選。当選者数の分布近似。
解答
Po$(1)$。$P(0)=e^{-1}\approx 0.368$。
58中 標準正規の上側0.025点。
解答
$z_{0.025}=1.96$
59中 一様U$(0,10)$ の累積分布関数。
解答
$F(x)=x/10$（$0\le x\le10$）
60中 $X\sim$U$(0,1)$ の中央値・最頻値。
解答
中央値$0.5$、最頻値はなし（密度一定）。
61中 $X\sim$Ex$(1)$ で$Y=\sqrt X$ の密度関数。
解答
変数変換 $f_Y(y)=2ye^{-y^2}$（レイリー分布）
62中 一様U$(-1,1)$から$Y=X^2$の密度。
解答
$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt y}$（$0
63中 $\Gamma(\alpha,\beta)$ で$\alpha=1$なら？
解答
指数分布Ex$(\beta)$
64中 二項分布の最頻値（mode）。
解答
$\lfloor (n+1)p\rfloor$
65中 ポアソン分布の最頻値。
解答
$\lfloor\lambda\rfloor$（$\lambda$整数なら$\lambda-1$と$\lambda$）
66中 二変量正規で相関$\rho=0$ なら独立を示せ。
解答
密度関数が積に分解できる。
67中 $X,Y$同時密度$f=2$ ($0解答$\int_x^1 2\,dy=2(1-x)$（$0
68中 上の問題で$E[X|Y]$。
解答
条件密度$f(x|y)=1/y$（$0
69中 全期待値の法則：$E[X]=E[E[X|Y]]$ を示せ。
解答
$E[E[X|Y]]=\int E[X|y]f_Y(y)dy=\int\int xf(x|y)f_Y(y)dxdy=E[X]$。
70中 $X\sim$U$(0,1),Y|X\sim$U$(0,X)$ の$E[Y]$。
解答
$E[E[Y|X]]=E[X/2]=1/4$
E. CLT・推定・検定（問71〜100）
71中 サイコロ100回振った和の近似分布。
解答
$N(350,100\cdot35/12)\approx N(350,291.7)$
72中 サイコロ100回の平均が3.7以上の確率。
解答
$Z=(3.7-3.5)/\sqrt{35/1200}\approx 1.17$。$1-\Phi(1.17)\approx 0.121$
73中 チェビシェフの不等式：$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2$ を述べよ。
解答
分散の存在のみで成立。
74中 $X\sim$N$(0,1)$ で$P(|X|\ge 3)$ をチェビシェフで上から評価。
解答
$\le 1/9\approx 0.111$（実際は$0.0027$なので甘い）
75中 標本$n=25$, $\bar X=10,s=2$のとき母平均の95%信頼区間（$\sigma$未知）。
解答
$t_{0.025,24}\approx 2.064$。$10\pm 2.064\cdot 2/5=[9.17,10.83]$
76中 $n=100,\bar X=50,\sigma=10$ 既知。$\mu$の95%CI。
解答
$50\pm 1.96\cdot 1=[48.04,51.96]$
77中 母比率$p$の信頼区間（大標本）。
解答
$\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$
78中 1000人中支持者600人。支持率の95%CI。
解答
$0.6\pm 1.96\sqrt{0.6\cdot0.4/1000}=[0.570,0.630]$
79中 正規母集団から$n=10$, $s^2=4$。$\sigma^2$の95%CI。
解答
$\chi^2_{0.025,9}=19.02,\chi^2_{0.975,9}=2.70$。$[9\cdot 4/19.02,9\cdot 4/2.70]=[1.89,13.33]$
80中 Bernoulli$(p)$ から$X_1,\ldots,X_n$。$p$のMLE。
解答
$\hat p=\bar X$
81中 N$(\mu,\sigma^2)$、両方未知のときMLE。
解答
$\hat\mu=\bar X,\hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar X)^2$（不偏ではない！）
82中 Po$(\lambda)$ のMLE。
解答
$\hat\lambda=\bar X$
83中 Ex$(\lambda)$のMLE。
解答
$\hat\lambda=1/\bar X$
84中 U$(0,\theta)$ のMLE。
解答
$\hat\theta=\max X_i$
85中 有意水準5%、$n=25,\bar X=52,\sigma=10$。$H_0:\mu=50$ vs $H_1:\mu\neq50$ の検定。
解答
$Z=(52-50)/(10/5)=1$。$|1|<1.96$ なので採択。
86中 $p$値の意味を一言で。
解答
$H_0$下で観測以上に極端な値が出る確率。
87中 第1種誤り・第2種誤りの定義。
解答
第1種：$H_0$真なのに棄却（$\alpha$）。第2種：$H_0$偽なのに採択（$\beta$）。
88中 検出力 $1-\beta$ を上げる方法は？
解答
$n$を増やす、$\alpha$を緩める、効果サイズが大きい場合は自然に上がる。
89中 2標本$t$検定：$n_1=n_2=10,\bar X_1-\bar X_2=3,$プール標準偏差$=4$。$t$値。
解答
$t=3/(4\sqrt{1/10+1/10})=3/(4\cdot\sqrt{0.2})\approx 1.677$
90中 適合度検定：サイコロ60回で出目$(8,12,11,9,10,10)$。一様性を$\alpha=0.05$で検定。
解答
$E_i=10$, $\chi^2=\sum(O-E)^2/E=(4+4+1+1+0+0)/10=1.0$。$\chi^2_{0.05,5}=11.07$。採択。
91難 Cramér-Rao不等式：不偏推定量$\hat\theta$ なら$V[\hat\theta]\ge 1/I(\theta)$。$I(\theta)$は？
解答
フィッシャー情報量。$I(\theta)=E[(\partial\log f/\partial\theta)^2]$。
92難 N$(\mu,\sigma^2)$の$\mu$（$\sigma^2$既知）に対するフィッシャー情報量。
解答
$I(\mu)=n/\sigma^2$。$\bar X$は分散$\sigma^2/n$でCR下限を達成。
93中 線形回帰$Y=\beta_0+\beta_1 X+\varepsilon$ の最小二乗推定量。
解答
$\hat\beta_1=\dfrac{\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum(X_i-\bar X)^2}$, $\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X$
94中 決定係数$R^2$ の定義。
解答
$R^2=1-\dfrac{\sum(Y_i-\hat Y_i)^2}{\sum(Y_i-\bar Y)^2}$
95中 $X\sim$N$(0,1)$ 独立$n$個の二乗和は何分布。
解答
$\chi^2(n)$
96中 $T=Z/\sqrt{V/n}$（$Z$標準正規, $V\sim\chi^2(n)$独立）の分布。
解答
$t(n)$分布
97中 $F=(V_1/n_1)/(V_2/n_2)$ の分布。
解答
$F(n_1,n_2)$分布
98中 $X_1,\ldots,X_n\sim$N$(\mu,\sigma^2)$ iid。$\bar X$と$s^2$は独立を示せ（コクランの定理）。
解答
正規分布の特殊性。$\bar X$と$X_i-\bar X$の共分散ゼロ＋正規→独立。
99難 一致性：$\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta$ の十分条件。
解答
不偏かつ$V[\hat\theta_n]\to 0$ で十分（チェビシェフから）。
100難 ベイズ推定：尤度Bin$(n,p)$, 事前Be$(\alpha,\beta)$ なら事後分布は？
解答
Be$(\alpha+x,\beta+n-x)$（共役事前分布）
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