🌊 フーリエ解析 完全ガイド
📅 近日公開予定（2026年7月）
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📑 公開予定の内容
1. 周期関数とフーリエ級数 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
2. 係数の計算公式 $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f\cos nx\,dx$
3. 複素フーリエ級数 $f=\sum c_n e^{inx}$
4. パーセバルの等式 エネルギー保存
5. 収束定理 ディリクレ条件／一様収束／ギブス現象
6. フーリエ変換 $\hat f(\xi)=\int f(x)e^{-i\xi x}dx$
7. 反転公式・性質 線形性／微分／畳み込み
8. ガウス関数のフーリエ変換 不確定性原理
9. ラプラス変換 $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$
10. 偏微分方程式への応用 熱方程式・波動方程式
11. 離散フーリエ変換（DFT）・FFT 信号処理への橋渡し
📝 練習問題100問＋解答
🎯 フーリエ変換の頻出ペア
| $f(x)$ | $\hat f(\xi)$ |
|---|
| $e^{-x^2/2}$ | $\sqrt{2\pi}e^{-\xi^2/2}$ |
| $e^{-a|x|}$ | $\dfrac{2a}{a^2+\xi^2}$ |
| 矩形 $\chi_{[-1,1]}$ | $\dfrac{2\sin\xi}{\xi}$（sinc） |
| $\delta(x)$ | $1$ |
| $\cos(ax)$ | $\pi(\delta(\xi-a)+\delta(\xi+a))$ |
例題プレビュー 矩形波$f(x)=\mathrm{sgn}(\sin x)$ のフーリエ級数。
$f(x)=\dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$（奇関数なので$\cos$項なし）
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