🧮 複素関数論 完全ガイド
📅 近日公開予定（2026年6月）
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📑 公開予定の内容
1. 複素数の復習 極形式／オイラーの公式／ド・モアブル
2. 複素関数 $\exp,\log,\sin,\cos$ の複素拡張／多価性
3. 正則関数 コーシー・リーマン方程式 $u_x=v_y,u_y=-v_x$
4. 複素線積分 $\int_C f(z)dz$ の計算
5. コーシーの積分定理 単連結領域での$\oint=0$
6. コーシーの積分公式 $f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{z-a}dz$
7. テイラー展開・ローラン展開 収束円／特異点周りの展開
8. 特異点の分類 除去可能／極／真性
9. 留数定理 $\oint f\,dz=2\pi i\sum \mathrm{Res}$
10. 実積分への応用 $\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx,\int\frac{\sin x}{x}dx$
11. 等角写像 メビウス変換／シュワルツ・クリストッフェル
📝 練習問題100問＋解答
🎯 圧倒的に便利な留数定理
$f$が単純閉曲線$C$内部で有限個の特異点を除き正則なら
$$\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_{k}\mathrm{Res}(f,z_k)$$
これだけで実積分が次々と解ける。たとえば
$$\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}$$
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{e}$$
例題プレビュー $\oint_{|z|=2}\dfrac{z}{(z-1)(z+3)}dz$
$|z|=2$ 内の特異点は$z=1$。$\mathrm{Res}=\frac{1}{1+3}=1/4$。よって$2\pi i\cdot 1/4=\pi i/2$。
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